ن است.
توجه داشته باشیم که در اینجا x^4 زمان نیست. این شبیه یک کره چهار بعدی با شعاع b^2 است.
حال معادل این را در مختصات کروی می نویسیم.
x^1=b sin⁡χ sin⁡θ cos⁡φ
x^2=b sin⁡χ sin⁡θ sin⁡φ
x^3=b sin⁡χ cos⁡θ
x^4=b cos⁡χ
مجددا برای برقراری شرط همسانگردی ( که شرط همگنی را هم در پی خواهد داشت) بردارهای کیلینگ را بدست می آوریم. این بردارها برای ناوردایی تحت چرخش که متضمن همسانگردی است عبارتند از :
ξ_1=x^2 ∂/〖∂x〗^3 -x^3 ∂/〖∂x〗^2 ξ_2=x^3 ∂/〖∂x〗^1 -x^1 ∂/〖∂x〗^3 ξ_3=x^1 ∂/〖∂x〗^2 -x^2 ∂/〖∂x〗^1
با جاگذاری برای ξ_1^μ داریم :
ξ_1^μ=sin⁡〖χ sin⁡θ 〗 sin⁡φ (0 , cos⁡χ cos⁡θ , sin⁡θ/sin⁡χ ,0 )-sin⁡χ cos⁡θ (0 ,cos⁡χ sin⁡θ sin⁡〖φ ,(cos⁡θ sin⁡φ)/sin⁡χ 〗 ,cos⁡φ/(sin⁡χ sin⁡θ ))
که در نهایت می رسیم به :
ξ_1^μ=(0 , 0 ,-sin⁡φ ,-cot⁡θ cos⁡φ )
که همان نتیجه قبلی است. به همان روش قبلی می توانیم 〖ds〗^2 را بنویسیم :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[〖dχ〗^2+〖sin〗^2 χ〖dθ〗^2+〖sin〗^2 χ〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
از آنجا که 〖sin〗^2 χ=r^2/a^2 ، که b همان شعاع کره چهار بعدی در نظر گرفته شده است، و اینکه 〖dχ〗^2=〖dr〗^2/(r^2-b^2 ) بنابراین می توان نوشت :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1-r^2/b^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
هم چنین می توان این کره چهاربعدی را در فضای مختلط نوشت :
〖(x^4)〗^2-〖(x^1)〗^2-〖(x^2)〗^2-〖(x^3)〗^2= b^2
که در آن صورت داریم:
x^1=b sin⁡hχ sin⁡θ cos⁡φ
x^2=b sinh⁡χ sin⁡θ sin⁡φ
x^3=b sinh⁡χ cos⁡θ
x^4=b cosh⁡χ
و با جاگذاری sin→sinh وcos→cosh خواهیم داشت:
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1+r^2/b^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
و سرانجام می توان نوشت :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1-〖kr〗^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
که kمقادیر 1 و 0 و 1- را می گیرد که به ترتیب نشانگر جهانی بسته،تخت و یا باز خواهد بود.
این متریک نشان دهنده جهانی همگن وهمسانگرد است. عامل a^2 (t) توصیف کننده گسترش فضا است. این متریک به متریک رابرتسون – واکر 10 معروف است.
1-5 معادلات میدان اینشتین [6]
بی شک معادلات میدان اینشتین یکی از مهمترین عناصر تشکیل دهنده کیهان شناسی مدرن می باشد.
اینشتین به این موضوع فکر می کرد که تانسور انرژی- تکانه باید به عنوان منبع گرانش عمل کند. یا به زبان اصل ماخ11 این توزیع ماده (انرژی) است که هندسه را مشخص می کند.
او ابتدا این معادله را نوشت :
R_μν=kT_μν
R_μν تانسور انرژی – تکانه و R_μν تانسور ریچی است که معرف هندسه مورد نظر ما است.
معادله میدان اینشتین را می توان تعمیم نسبیتی معادلات لاپلاس و پوواسون ( در عدم حضور یا حضور ماده ) تلقی کرد.
در حالت خلا می توان نوشت :
R_μν=0
و اگر بخواهیم شکل معادله پوواسون را داشته باشد به این صورت زیر نوشته می شود
R_μν=kT_μν
مشکل معادله بالا این است که اگر بخواهیم قانون پایستگی را بنویسیم داریم : T_(;ν)^μν=0
اما برای R_(;ν)^μν≠0 است. بنابراین اینشتین فرم دیگری برای سمت چپ معادله خود انتخاب کرد:
G^μν=R^μν-1/2 g^μν R=kT^μν
ضریب k را هم می توان به تشابه با معادله پوواسون ∇^2 φ=4πGρ_0 ، به صورت 8πG/c^2 نوشت.
بنابراین فرم نهایی معادله اینشتین به این صورت است:
G_μν=8πG/c^2 T_μν
1-6 مدل فریدمن 12
در این قسمت می خواهیم حل معادلات اینشتین را برای متریک رابرتسون – واکر بدست آوریم.
اگر متریک مورد نظر g_μν را برای متریک رابرتسون – واکر بنویسیم، مولفه های غیر قطری صفر خواهند شد. و برای مولفه های قطری داریم[4] :
g_00=1
g_11=(-a^2)/(1-kr^2 )
g_22=-a^2 r^2
g_33=-a^2 r^2 〖sin〗^2 θ
g=g_00 g_11 g_22 g_33=-(a^6 r^4 〖sin〗^2 θ)/(1-kr^2 )
√(-g)=(a^3 r^2 sinθ)/√(1-kr^2 )
حال باید Γ ها ،یا همان ضرایب اتصال را پیدا کنیم.
Γ_kl^i=1/2 g^im (g_(ml,k)-g_(lm,k)-g_(kl,m) )=Γ_lk^i
که a_0ضریب مقیاس در زمان حال و a(t) ضریب مقیاس در زمان مورد نظر است.
λ_0 طول موج مشاهده شده و λ طول موج انتشار یافته از کهکشان هدف است.
مشاهده می شود که هر چه قدر Z بزرگ باشد ، a(t) کوچک خواهد بود و در نتیجه H بزرگتر خواهد شد سرعت دور شدن هم با توجه به V=Hd بیشتر خواهد بود.
هم چنین اگر طیف مشاهده شده از یک کهکشان به سمت قرمز میل کند داریم z0
و در این صورت a(t)a_0 خواهد بود که نشان دهنده انبساط عالم است [7].
علاوه بر مشاهدات هابل، مدل استاندارد یا همان مدلی که بر اساس مدل فریدمن از انبساط جهان توصیف می شود، پیش گویی خوبی در مورد وجود تابش میکرو موج زمینه کیهانی و هم چنین چگونگی به وجود آمدن و فراوانی عناصر سبک در ابتدا آفرینش عالم بدست می دهد. با وجود موفقیت های این مدل در توصیف چگونگی گسترش جهان، ابهاماتی وجود دارد که بررسی آنها یا بهتر بگوییم این اشکالات در مدل استاندارد مهبانگ ضروری بنظر می رسد.
2-3 مسئله تخت بودن 14
از معادله فریدمن شروع می کنیم. اگر a ̇/a را به صورت H=a ̇/a نشان دهیم می توان معادله فریدمن را این طور نوشت:
H^2=8πGρ/3-(kc^2)/a^2
اگر c=1 قرار دهیم می توان معادله را به این صورت نوشت:
Ω-1=8πGρ/(3H^2 )-1=k/(H^2 a^2 )
Ω به پارامتر چگالی معروف است و برابر است با ρ/ρ_(c ) که ρ_c به چگالی آستانه15 معروف است.
می دانیم که در مدل استاندارد رابطه a با زمان به صورت a∝t^q است که (q<1 و به عنوان مثال q=1/2 در دوران غلبه تابش و q=2/3 در دوران غلبه ماده) بنابراین اگر در رابطه Ω-1=k/(H^2 a^2 ) ، Ω به سمت یک میل کند در آن صورت k نیز به سمت صفر میل خواهد کرد.k=0 نمایانگر حالت تخت بودن کامل فضا است. مشاهدات رصدی تائید کننده تخت بودن هستند. به عنوان مثال در دوره معروف به هسته زایی، حدود یک ثانیه پس از انفجار بزرگ اختلاف Ω با یک از مرتبه 〖10〗^(-16) و یا در زمان t≅〖10〗^(-11) ثانیه این اختلاف برابر 〖10〗^(-27) است که نشان می دهد جهان در لحظات اولیه بسیار تخت بوده است [8]. مدل استاندارد مهبانگ پاسخ قانع کننده ای به این تخت بودن یا به عبارت دیگر این تنظیم دقیق برای Ω ندارد. 2-4 مسئله افق 16 شاید یکی از اساسی ترین مشکلات در کیهان شناسی استاندارد، مسئله افق باشد. افق به بیشترین فاصله ای که توسط یک پرتو نور می تواند پوشش داده شود گفته می شود. امواج میکرو موج پس زمینه کیهانی از تمام نقاط آسمان ساطع می شوند و نکته جالب این است که اگر به هر سمت از آسمان نگاه کنیم این امواج را با طیف تابش یک جسم سیاه در حدود 2.7 درجه کلوین می توان ردیابی و رصد کرد. شاید بتوان این گونه توجیه کرد که تمام نقاط جهان در یک تعادل گرمایی با هم هستند. اما در نظریه استاندارد مهبانگ نمیتوان چنین توجیهی را پذیرفت چرا که زمان کافی برای نقاط دوردست از هم وجود ندارد که بتوانند پیش از آنکه فوتون ها از آنها ساطع شوند به تعادل گرمایی برسند. اگر به رابطه مقابل نگاه کنیم : ∫_(t_*)^(t_dec)▒dt/(a(t))≪∫_(t_dec)^(t_0)▒dt/(a(t)) می بینیم فاصله ای که نور می توانسته از زمان آغاز انفجار بزرگ،t_* ، تا زمان برخورد آخرین فوتون ها با ذرات که در زمان های اولیه عالم و در زمان غلبه تابش اتفاق افتاده، بسیار کوتاه تر از فاصله ای است که از زمان این تجزیه، t_dec ، تا به امروز صورت گرفته است. به عبارت دیگر زمانی که نور می توانسته قبل از آخرین برخوردها17 که در واقع همان زمان تولید تابش میکرو موج زمینه کیهانی است طی کند، بسیار کوتاه بوده و فرصتی برای هم دمایی وجود نداشته است [8]. چگونه نقاط مختلف عالم توانسته اند به این دقت و همگنی هم دما شوند و تابش CMB را در تمام نقاط به صورت یکسان داشته باشیم؟ 2-5 مسئله تک قطبی مغناطیسی 18 یکی دیگر از مواردی که با پیش گویی نظریه کلاسیک انفجار بزرگ در تناقض است، مسئله تک قطبی مغناطیسی است. نظریه وحدت بزرگ یا GUT ، وجود ذره ای با بار مغناطیسی خالص و جرم بسیار زیاد در حدود 〖10〗^16 جرم الکترون را پیش گویی می کند. یکی از شرایط به وجود آمدن چنین ذره ای حرارت بسیار بالا در حدود T=〖10〗^17 Gev است که این شرایط در زمانهای اولیه عالم وجود داشته است. اما چنین ذره ای تا کنون مشاهده نشده است [9] . نظریه کلاسیک انفجار بزرگ با وجود موفقیت های زیاد از جمله پیش بینی و توجیه وجود تابش پس زمینه میکرو موج کیهانی و یا روند تشکیل عناصر سبک، با ابهاماتی مواجه است. نظریه تورم که در بخش بعد به آن خواهیم پرداخت می تواند توجیه مناسبی برای این ابهامات باشد. فصل سوم مدل تورمی "آلن گوث"، رهیافتی برای برون رفت از مشکلات مدل استاندارد 3-1 مدل تورمی وجود مشکلات و ابهاماتی که مدل استاندارد کیهان شناسی را درگیر کرده بود منجر به ارائه مدل تورمی شد. اولین مدل را آلن گوث 19در سال 1980 ارائه داد [10]. از آن زمان مدل های دیگری برای تورم پیشنهاد شده اند. از آنجا که مدل گوث اولین مدل به شمار می آید امروزه به مدل تورمی قدیم20 مشهور شده است. ایده اصلی تمام نسخه های موجود برای سناریوی جهان تورمی این است که جهان در اولین مراحل تحول خود باید در یک وضعیت خلا ناپایدار به همراه چگالی انرژی بسیار بالا بوده باشد [9]. از سوی دیگر رابطه فشار و چگالی به صورت p=-ρ است. این می تواند به این معنی باشد که بر اساس رابطه : ρ ̇a^3+3(ρ+p) a^2 a ̇=0 چگالی انرژی خلا در طول فرآیند گسترش عالـم تغییر نمی کـند. بـه عبارت دیگر یک "تهی" ، تهی باقی می ماند حتی اگر دارای وزن باشد. اما رابطه (a ̇/a)^2+k/a^2 =8π/3 Gρ تاکید می کند که در یک زمان به اندازه کافی بزرگ t جهان باید در یک حالت ناپایدار خلا ρ>0 به صورت نمایی گسترش پیدا کند.
در آن صورت داریم:
برای k=1 (جهان بسته مدل فریدمن) a(t)=1/H cosh⁡〖(Ht)〗
برای k=0 (جهان تخت فریدمن ) a(t)=1/H e^Ht
برای k=-1 (جهان باز مدل فریدمن) a(t)=1/H sinh⁡〖(Ht)〗
در اینجا H=√(8/3 πGρ) است. به طور کلی می توان گفت با وجود اینکه در طول گسترش عالم H تغییر می کند، اما این تغییر بسیار آرام است، (H≪H^2 ) ̇ .
در یک زمان خاص ∆t=H^(-1) تغییرات کوچکی در بزرگی H به وجود می آید، بنابراین با یک مرحله بسط شبه نمایی روبرو هستیم و می توان نوشت:
a(t)=a_0 exp[∫_0^t▒H(t)dt]~a_0 e^Ht
تورم زمانی به پایان می رسد که H سریعا شروع به کاهش می کند. آن گــاه انــرژی ذخیره شده در حالت شبه خلا ، به انرژی گرمایی تبدیل می شود و جهان بسیار داغ می شود. از این مرحله به بعد می توان تحول جهان را با مدل استاندارد توصیف کرد.
دوسیته21 در سال 1917 در مقاله ای جهان را توصیف کرد [11]. این کار قبل از کار فریدمن و ارائه مدل جهان انبساطی بود. البته این مدل متفاوت با روابط بالا برای a(t) بود و تا زمان طولانی معنی فیزیکی آن تا حدی مبهم بنظر می رسید.
قبل از توسعه مدل تورمی، فضای دوسیته برای توسعه روش های نسبیت عام و همچنین میدان های کوانتومی در یک فضای خمیده بکار گرفته می شد.
احتمال اینکه عالم می تواند در مراحل اولیه گسترش خود به صورت نمایی بزرگ شود و با یک ماده بسیار متراکم که توسط معادله p=-ρ توصیف می شود پر شده باشد اولین بار توسط گلینر22 [12] پیشنهاد شد.
البته در آن زمان این معادلات توجه زیادی را بر نیانگیختند. این مطالب در مورد مواد باریونی بسیار چگال که توسط معادله p=ρ/3 توصیف می شوند بیان می شود.
متعاقبا تشخیص داده شد که میدان تقریبا ثابت اسکالر φ که در نظریه وحدت ذرات بنیادی مشاهده شده است میتواند نقش حالت خلا با چگالی انرژی V(φ) را ایفا کند. بزرگی φ در یک جهان در حال گسترش بستگی به دما و هم چنین به زمانی که تحول فاز φ را تغییر می دهد، دارد. و سرانجام انرژی ذخیره شده در میدان به انرژی گرمایی تغییر می کند.
اگر انتقال فاز از یک حالت خلا ناپایدار بسیار سرد انجام شود، آنتروپی کل جهان می تواند افزایش قابل توجهی پیدا کند و در حالت خاص جهان سرد می تواند جهان مدل فریدمن را داغ کند.
در سال 1980 مدل بسیار جالب تحول عالم توسط استرابونیسکی23 مطرح شد [13]. این مدل بر اساس مشاهدات دوکر24 و کریچلی25 مطرح شد که بیان می دارد متریک دوسیته راه حلی برای معادلات اینشتین با اصلاحات کوانتومی است [14]. استرابونیسکی به این امر اشاره کرد که این راه حل ناپایدار است و پس از محو حالت شبه خلا اولیه فضای دوسیته به مدل داغ فریدمن تغییر حالت می دهد [15].
مدل استرابونیسکی قدم مهمی در پیشرفت نظریه جهان تورمی بود. با این وجود مزایای مهم مرحله تورمی هنوز در آن زمان تشخیص داده نشده بود. مهم ترین هدف در آن زمان حل مساله یکتایی اولیه عالم بود. این هدف در آن زمان محقق نشد و به صورت مبهم باقی ماند.در این مدل چگالی ناهمگنی که بعد از محو شدن فضای دوسیته ظاهر می شود،، بسیار بزرگ خواهد بود.
فرم اصلاح شده استرابونیسکی به عنوان یکی از فعال ترین مدل های توسعه یافته برای نظریه جهان تورمی محسوب می شود.
لزوم در نظر گرفتن مدلی برای جهان با مرحله ای که در آن انبساط به صورت شبه نمایی باشد، سرانجام بعد از کارهای آلن گوث مطرح شد. او پیشنهاد داد که برای رفع مشکلات سه گانه نظریه مهبانگ (مشکل تخت بودن، مشکل افق و مشکل تک قطبی مغناطیسی)، از گسترش نمایی عالم در یک حالت خلا بسیار سرد در φ=0 استفاده شود.
سناریوی مطرح شده توسط گوث بر سه خاصیت بنیادی استوار است.
جهان اولیه در یک حالت با دمای بسیار بالا قرار داشت و منجر به ترمیم تقارن شده است یعنی φ(T)=0
می توان اینطور در نظر گرفت که پتانسیل V(φ) یک کمینه در φ=0 دارد حتی در دمای بسیار پایین T . به عنوان نتیجه جهان در یک حالت بسیار سرد ناپایدار در φ=0 برای مدت به اندازه کافی طولانی باقی مانده است. با سقوط دما تانسور انرژی- تکانه به مرور با T_μν=g_μν V(0) برابر می شود و جهان برای مدت به اندازه کافی طولانی به صورت نمایی منبسط (متورم) می شود.
تورم تا پایان مرحله انتقال به حالت پایدار φ_0=0 ادامه می یابد.این انتقال فاز توسط شکل گیری حباب هایی که حاوی میدان φ=φ_0 است تولید می شود.جهان از طریق برخورد دیواره حباب ها گرم می شود این تحول توسط نظریه جهان داغ توصیف می شود.
انبساط نمایی جهان که در مرحله 2 توصیف شد، به این دلیل معرفی شده است که عبارت k/a^2 در معادله (a ̇/a)^2+k/a^2 =8π/3 Gρدر مقایسه با 8/3 πGρ ناچیز به شمار آید و حذف شود، به این منظور که جهان تخت و تخت تر شود.
این همان فرایندی است تا تضمین کند که قسمت قابل مشاهده جهان، حدود 〖10〗^28 cm ، توسط تورم یک ناحیه بسیار کوچک از جهان که به صورت علیتی بهم متصل است به وجود آمده است.
در این سناریو تک قطبی ها در جایی که دیواره های حباب ناشی از انبساط نمایی بهم برخورد می کنند به وجود می آیند و بنابر این دارای چگالی پایین به صورت نمایی هستند.
ایده اصلی سناریوی گوث بسیار ساده و جذاب است. اما با این وجود برخورد دیواره های حباب های بسیار بزرگ منجر به از بین رفتن همگنی و همسانگردی در جهان پس از تورم می شود.
تلاش ها برای رفع این مشکل ناموفق بود تا زمانی که کیهان شناسان مفروضات سه گانه گوث را به نوعی رد کردند البته با حفظ این فرض که جهان در مراحل اولیه تحول خود به صورت نمایی

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید